Question

圆x²+y²=4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图），双曲线C₁：

x2

a2

-

y2

b2

=1过点P且离心率为

3

．
（Ⅰ）求C₁的方程；
（Ⅱ）若椭圆C₂过点P且与C₁有相同的焦点，直线l过C₂的右焦点且与C₂交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆过点P，求l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,双曲线的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）设切点P（x₀，y₀），（x₀＞0，y₀＞0），利用相互垂直的直线斜率之间的关系可得切线的斜率和切线的方程，即可得出三角形的面积，利用基本不等式的性质可得点P的坐标，再利用双曲线的标准方程及其性质即可得出；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得椭圆C₂的焦点．可设椭圆C₂的方程为

x2

3+ b 2 1

+

y2

b 2 1

=1（b₁＞0）．把P的坐标代入即可得出方程．由题意可设直线l的方程为x=my+

3

，
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），与椭圆的方程联立即可得出根与系数的关系，再利用向量垂直与数量积的关系即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）设切点P（x₀，y₀），（x₀＞0，y₀＞0），则切线的斜率为-

x0

y0

，
可得切线的方程为y-y0=-

x0

y0

(x-x0)，化为x₀x+y₀y=4．
令x=0，可得y=

4

y0

；令y=0，可得x=

4

x0

．
∴切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形的面积S=

1

2

•

4

y0

•

4

x0

=

8

x0y0

．
∵4=

x

2 0

+

y

2 0

≥2x0y0，当且仅当x0=y0=

2

时取等号．
∴S≥

8

2

=4．此时P(

2

，

2

)．
由题意可得

2

a2

-

2

b2

=1，e=

c

a

=

1+ b2 a2

=

3

，解得a²=1，b²=2．
故双曲线C₁的方程为x2-

y2

2

=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知双曲线C₁的焦点（±

3

，0），即为椭圆C₂的焦点．
可设椭圆C₂的方程为

x2

3+ b 2 1

+

y2

b 2 1

=1（b₁＞0）．
把P(

2

，

2

)代入可得

2

3+ b 2 1

+

2

b 2 1

=1，解得

b

2 1

=3，
因此椭圆C₂的方程为

x2

6

+

y2

3

=1．
由题意可设直线l的方程为x=my+

3

，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立

x=my+ 3 x2+2y2=6

，化为(m2+2)y2+2

3

my-3=0，
∴y1+y2=-

2 3 m

2+m2

，y1y2=

-3

2+m2

．
∴x₁+x₂=m(y1+y2)+2

3

=

4 3

m2+2

，
x₁x₂=m2y1y2+

3

m(y1+y2)+3=

6-6m2

m2+2

．

AP

=(

2

-x1，

2

-y1)，

BP

=(

2

-x2，

2

-y2)，
∵

AP

⊥

BP

，∴

AP

•

BP

=0，
∴x1x2-

2

(x1+x2)+y1y2-

2

(y1+y2)+4=0，
∴2m2-2

6

m+4

6

-11=0，解得m=

3 6

2

-1或m=-(

6

2

-1)，
因此直线l的方程为：x-(

3 6

2

-1)y-

3

=0或x+(

6

2

-1)y-

3

=0．

点评：本题综合考查了圆锥曲线的标准方程及其性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、向量垂直与数量积的关系、切线的斜率和切线的方程、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，考查了转化和化归能力，考查了解决问题的能力，属于难题．