Question

【题目】已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的右焦点F（1，0），右准线l：x=4．圆C2：x2+y2=b2．A、B为椭圆上不同的两点，AB中点为M．

（1）求椭圆C1的方程；

（2）若直线AB过F点，直线OM交l于N点，求证：NF⊥AB；

（3）若直线AB与圆C2相切，求原点O到AB中垂线的最大距离．

Answer 1

【答案】（1）=1（2）见解析（3）

【解析】

（1）由椭圆的右焦点和右准线得到关于a,b,c的方程组，解方程组即得椭圆的标准方程；（2）设AB：x=my+1，联立直线AB方程和椭圆方程求出点M的坐标和点N的坐标，再计算得kNFkAB=-1，即得NF⊥AB；（3）设AB：x=my+n，求出AB中垂线方程为mx+y-=0，再求出O到AB中垂线的距离，再利用基本不等式求最大距离.

解：（1）椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的右焦点F（1，0），右准线l：x=4．

∴，

解得a=2，b=，

∴椭圆C1的方程为=1．

（2）由题意，AB的斜率不为0，故设AB：x=my+1，

联立，得（3m2+4）y2+6my-9=0，

由题意得△＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），

则y1+y2=-，y1y2=-，∴M（），

所以OM方程为y=-，

∴N（4，-3m），又F（1，0），∴kNF=-m，

∵kNFkAB=-m=-1，∴NF⊥AB，

当m=0时，NF⊥AB，

综上，NF⊥AB．

（3）C2：x2+y2=3，设AB：x=my+n，

与圆C2相切，得=，

与=1联立，得（3m2+4）y2+6mny+3n2-12=0，

M（），

所以AB中垂线方程为：y+=-m（x-），即mx+y-=0，

所以O到其距离d==≤=，

当3|m|=，即m=时，取等号．

综上，点O到AB的中垂线的最大距离为．