Question

11．在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosθ}\\{y=2+sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），点P在曲线C₁上，点A的坐标为（1，0），点Q满足$\overrightarrow{OQ}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OP}$．
（1）求点Q的轨迹方程；
（2）以O为极点，若点M为曲线ρ=-2sinθ上一点，求|MQ|的最小值．

Answer 1

分析 （1）将C₁化成普通方程，设出Q（x，y）表示出P点坐标，代入C₁方程整理即可；
（2）将曲线ρ=-2sinθ化成普通方程，判断两曲线的位置关系得出最小值．

解答 解：（1）曲线C₁的普通方程为（x-1）²+（y-2）²=1，
设Q（x，y），则$\overrightarrow{OQ}$=（x，y），$\overrightarrow{OA}$=（1，0），∴$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OA}$=（x-1，y），∴P（x-1，y）．
∵P点在曲线C₁上运动，∴（x-2）²+（y-2）²=1．
∴点Q的轨迹方程是（x-2）²+（y-2）²=1．
（2）∵ρ=-2sinθ，∴ρ²=-2ρsinθ，∴x²+y²=-2y．即x²+（y+1）²=1．
∴曲线（x-2）²+（y-2）²=1的圆心到曲线x²+（y+1）²=1的圆心的距离d=$\sqrt{{2}^{2}+（2+1）^{2}}$=$\sqrt{13}$＞2．
∴两圆外离，∴|MQ|的最小值为$\sqrt{13}$-2．

点评 本题考查了参数方程，极坐标方程与普通方程的转化，两圆位置关系的判断，属于基础题．