Question

16．在平面直角坐标系下，曲线C₁：x+2y-2a=0，曲线C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=1+2sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）
（1）当a=3时，求曲线C₂上的点到C₁的距离的最大值；
（2）若曲线C₁，C₂有公共点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出C₂的普通方程，判断C₁，C₂的位置关系，得出结论；
（2）令C₂的圆心到C₁的距离不大于C₂的半径，列出不等式解出．

解答 解：（1）曲线C₂的直角坐标方程为（$\frac{x}{2}$）²+（$\frac{y-1}{2}$）²=1，即x²+（y-1）²=4．
∴曲线C₂表示以（0，1）为圆心，以2为半径的圆．
当a=3时，C₁方程为x+2y-6=0．
曲线C₂的圆心到直线C₁的距离d=$\frac{|2-6|}{\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$＜2．
∴直线C₁与圆C₂相交，∴曲线C₂上的点到C₁的距离的最大值为$\frac{4\sqrt{5}}{5}$+2．
（2）∵曲线C₁，C₂有公共点，
∴曲线C₂的圆心到直线C₁的距离d=$\frac{|2-2a|}{\sqrt{5}}$≤2．即a²-2a-4≤0，解得1-$\sqrt{5}$≤a≤1+$\sqrt{5}$．
∴a的取值范围是[1-$\sqrt{5}$，1+$\sqrt{5}$]．

点评 本题考查了参数方程与普通方程的互化，直线与圆位置关系的判断，属于基础题．