Question

1．在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosθ}\\{y=cos2θ}\end{array}\right.$（θ为参数），若以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N的极坐标方程为：ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$t（其中t为常数）．
（I）若曲线N与曲线M只有一个公共点，求t的取值范围；
（2）当t=-2时，求曲线M上的点与曲线N上点的最小距离．

Answer 1

分析 （1）首先，将所给的直线的参数方程化为普通方程、直线的极坐标方程化为直角坐标方程，然后，结合直线与抛物线的位置关系进行求解即可；
（2）利用平行线系，然后，结合平行线之间的距离公式进行求解．

解答 解：（1）根据曲线M的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosθ}\\{y=cos2θ}\end{array}\right.$（θ为参数），得
y=2cos²θ-1=x²-1，
∴y=x²-1，
∵曲线N的极坐标方程为：ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$t，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$（ρcosθ+ρsinθ）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$t，
∴x+y-t=0，
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}-1}\\{x+y-t=0}\end{array}\right.$，
∴x²-x+t-1=0．
∴△=1-4（t-1）=0，
∴t=$\frac{5}{4}$，
（2）∵t=-2，
∴x+y+2=0，
设与上述直线平行的直线方程为：x+y+m=0，
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}-1}\\{x+y+m=0}\end{array}\right.$，
∴x²-x-m-1=0．
∴△=1+4（m+1）=0，
∴t=-$\frac{5}{4}$，
∴曲线M上的点与曲线N上点的最小距离d=$\frac{|2-\frac{5}{4}|}{\sqrt{1+1}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{8}$．

点评 本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，极坐标方程与直角坐标方程的互化，属于中档题．