Question

9．过点P（-2，-4）的直线l的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建设极坐标系，已知曲线C：ρsin²θ=2acosθ（a＞0），直线l与曲线C分别交于M，N．
（1）写出曲线C和直线l的普通方程；
（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．

Answer 1

分析 （1）作差x-y即可把直线l的参数方程化为普通方程．曲线C：ρsin²θ=2acosθ（a＞0），即ρ²sin²θ=2aρcosθ，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$可得直角坐标方程．
（2）把直线l的参数方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），代入抛物线方程可得：t²-$（8\sqrt{2}+2\sqrt{2}a）$t+8a+32=0，设|PM|=t₁，|PN|=t₂，可得|MN|=|t₂-t₁|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$，由于|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，可得|MN|²=|PM||PN|，代入计算即可得出．

解答 解：（1）直线l的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），消去参数t可得：x-y=2．
曲线C：ρsin²θ=2acosθ（a＞0），即ρ²sin²θ=2aρcosθ，可得：直角坐标方程：y²=2ax．
（2）把直线l的参数方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），代入抛物线方程：y²=2ax．
可得：t²-$（8\sqrt{2}+2\sqrt{2}a）$t+8a+32=0，
∴t₁+t₂=$8\sqrt{2}$+2$\sqrt{2}$a，t₁t₂=8a+32．
∴|PM|=t₁，|PN|=t₂，
|MN|=|t₂-t₁|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{（8\sqrt{2}+2\sqrt{2}a）^{2}-4（8a+32）}$，
∵|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，
∴|MN|²=|PM||PN|，
∴$（8\sqrt{2}+2\sqrt{2}a）^{2}$-4（8a+32）=8a+32，
化为：a=1．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、等比数列的通项公式及其性质、弦长公式、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．