Question

18．在平面直角坐标线中，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立坐标系．已知直线与椭圆的极坐标方程分别为l：cosθ+2sinθ=0，C：ρ²=$\frac{4}{co{s}^{2}θ+4si{n}^{2}θ}$．
（1）求直线与椭圆的直角坐标方程；
（2）若P是椭圆C上的一个动点，求P到直线l距离的最大值．

Answer 1

分析 （1）直接根据极坐标和直角坐标的互化公式进行求解即可；
（2）利用平行线系，然后，借助于直线与圆相切，求解得到相应的最大值即可．

解答 解：（1）根据直线与椭圆的极坐标方程分别为l：cosθ+2sinθ=0，
直线的极坐标方程为l：cosθ+2sinθ=0，
ρcosθ+2ρsinθ=0，
∴x+2y=0，
根据椭圆的极坐标方程为ρ²=$\frac{4}{co{s}^{2}θ+4si{n}^{2}θ}$．
∴ρ²cos²θ+4ρ²sin²θ=4，
∴$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，
∴直线的直角坐标方程为：x+2y=0，
椭圆的直角坐标方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，
（2）设与已知直线平行的直线方程为：x+2y+m=0，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x+2y+m=0}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，
∴8y²+4my+m²-4=0．
∴△=8-m²=0
∴m=±2$\sqrt{2}$，
∴d=$\frac{|±2\sqrt{2}|}{\sqrt{1+{2}^{2}}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$．
∴P到直线l距离的最大值$\frac{2\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题重点考查了直线和椭圆的极坐标和直角坐标方程的互化、直线与椭圆的位置关系等知识，属于中档题．