Question

1．如图所示，E，F分别是正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中BB₁，B₁C₁的中点，计算：
（1）EF与CD₁所成的角；
（2）EF与AD所成的角．

Answer 1

分析 （1以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出EF与CD₁所成的角．
（2）利用向量法能求出EF与AD所成的角．

解答 解：（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱长为2，
则E（2，2，1），F（1，2，2），C（0，2，0），D₁（0，0，2），
$\overrightarrow{EF}$=（-1，0，1），$\overrightarrow{C{D}_{1}}$=（0，-2，2），
设EF与CD₁所成的角为α，
则cosα=|cos＜$\overrightarrow{EF}，\overrightarrow{C{D}_{1}}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{C{D}_{1}}}{|\overrightarrow{EF}|•|\overrightarrow{C{D}_{1}}|}$|=$\frac{2}{\sqrt{2}•\sqrt{8}}$=$\frac{1}{2}$．
∴α=60°，∴EF与CD₁所成的角为60°．
（2）A（2，0，0），D（0，0，0），$\overrightarrow{AD}$=（-2，0，0），
设EF与AD所成的角为β，
则cosβ=$\frac{|\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{EF}|}{|\overrightarrow{AD}|•|\overrightarrow{EF}|}$=$\frac{|2|}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴β=45°，∴EF与AD所成的角为45°．

点评 本题考查异面直线所成角的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．