Question

11．设函数f（x）=2sinxcos²$\frac{φ}{2}$+cosxsinφ-sinx（0＜φ＜π）在x=π处取最小值．
（I）求ϕ的值，并化简f（x）；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a=1，b=$\sqrt{2}$，f（A）=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，求角C．

Answer 1

分析 （I）由条件利用三角恒等变换，化简函数的解析式，再利用诱导公式求得φ的值，可得函数的解析式．
（II）由条件求得A，再利用正弦定理求得sinB的值，可得B，再利用三角形内角和公式求得C的值．

解答 解：（I）∵$f（x）=2sinx•\frac{1+cosφ}{2}+cosxsinφ-sinx$=sinx+sinxcosφ+cosxsinφ-sinx
=sinxcosφ+cosxsinφ=sin（x+φ），
因为函数f （x）在x=π处取最小值，所以sin（π+φ）=-1，
由诱导公式知sinφ=1，因为0＜φ＜π，所以$φ=\frac{π}{2}$，所以$f（x）=sin（x+\frac{π}{2}）=cosx$．
（II）因为$f（A）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，所以$cosA=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，因为角A为△ABC的内角，所以$A=\frac{π}{6}$．
又因为$a=1，b=\sqrt{2}$，所以由正弦定理，得$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，
也就是$sinB=\frac{bsinA}{a}=\sqrt{2}×\frac{1}{2}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
因为b＞a，所以$B=\frac{π}{4}$或$B=\frac{3π}{4}$．
当$B=\frac{π}{4}$时，$C=π-\frac{π}{6}-\frac{π}{4}=\frac{7π}{12}$；                                  
当$B=\frac{3π}{4}$时，$C=π-\frac{π}{6}-\frac{3π}{4}=\frac{π}{12}$．

点评 本题主要考查三角恒等变换，诱导公式的应用，正弦定理以及三角形的内角和公式，属于基础题．