Question

1．已知A（-3，0），B（3，0），C（x₀，y₀）是圆M上的三个不同的点．
（1）若x₀=-4，y₀=1，求圆M的方程；
（2）若点C是以AB为直径的圆M上的任意一点，直线x=3交直线AC于点R，线段BR的中点为D．判断直线CD与圆M的位置关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法建立方程关系进行求解即可．
（2）根据直线和圆的位置关系进行判断即可．

解答 解：（1）设圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0$\left\{\begin{array}{l}9-3D+F=0\\ 9-3D+F=0\\ 17-4D+E+F=0\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}D=0\\ E=-8\\ F=-9\end{array}\right.$
圆的方程为x²+y²-8y-9=0…（6分）
（2）直线CD与圆M相切O、D分别是AB、BR的中点
则OD∥AR，∴∠CAB=∠DOB，∠ACO=∠COD，
又∠CAO=∠ACO，∴∠DOB=∠COD
又OC=OB，所以△BOD≌△COD
∴∠OCD=∠OBD=90°
即OC⊥CD，则直线CD与圆M相切． …（12分）
（其他方法亦可）

点评 本题主要考查圆的一般方程的求解以及直线和圆的位置关系的判断，利用待定系数法求出圆的方程是解决本题的关键．