Question

6．若函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x，x≤1}\\{（\frac{1}{2}）^{x-1}，x＞1}\end{array}\right.$，则不等式f（x²-3）＞f（$\frac{1}{2}$x）的解集为（-∞，-$\frac{3}{2}$）．

Answer 1

分析 根据分段函数的表达式判断函数的单调性，讨论变量的取值范围进行比较即可．

解答 解：若$\frac{1}{2}$x≥1，即x≥2时，x²-3≥1，此时函数f（x）在[1，+∞）为减函数，
则由f（x²-3）＞f（$\frac{1}{2}$x）得x²-3＜$\frac{1}{2}$x，即2x²-x-6＜0，得-$\frac{3}{2}$＜x＜2，此时x无解．
若$\frac{1}{2}$x＜1，即x＜2时，
若x²-3＜1，即-2＜x＜2，时，函数f（x）在（-∞，1]上是增函数，
则由f（x²-3）＞f（$\frac{1}{2}$x）得x²-3＞$\frac{1}{2}$x，即2x²-x-6＞0，得x＜-$\frac{3}{2}$或x＞2（舍），此时-2＜x＜-$\frac{3}{2}$．
若x≤-2，则$\frac{1}{2}$x≤-1，此时f（$\frac{1}{2}$x）＜0，
而x²-3≥1，则f（x²-3）＞0，此时不等式f（x²-3）＞f（$\frac{1}{2}$x）恒成立，
综上不等式的解集为（-∞，-$\frac{3}{2}$），
故答案为：（-∞，-$\frac{3}{2}$）．

点评 本题主要考查分段函数的应用，根据函分段函数的表达式判断函数的单调性，利用函数的单调性是解决本题的关键．