Question

15．设x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x≤3}\\{x-y+5≥0}\\{x+y≥0}\end{array}\right.$，若$\overline{a}$=（y，1），$\overline{b}$=（$\frac{1}{x+1}$，0），则z=$\overline{a}•\overline{b}$的取值范围是（　　）

• A． [-$\frac{5}{3}$，-$\frac{3}{4}$]
• B． （-∞，-$\frac{5}{3}$]
• C． （-∞，-$\frac{5}{3}$]∩[-$\frac{3}{4}$，+∞）
• D． [-$\frac{3}{4}$，+∞）

Answer 1

分析 根据向量数量积的公式先求出z，利用直线斜率的几何意义结合数形结合进行求解即可．

解答 解：若$\overline{a}$=（y，1），$\overline{b}$=（$\frac{1}{x+1}$，0），则z=$\overline{a}•\overline{b}$=$\frac{y}{x+1}$，
则z的几何意义是区域内的点到定点D（-1，0）的斜率，
作出不等式组对应的平面区域如图：
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y+5=0}\\{x+y=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{5}{2}}\\{y=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，即A（-$\frac{5}{2}$，$\frac{5}{2}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{x+y=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=-3}\end{array}\right.$，即B（3，-3），
则AD的斜率k=$\frac{\frac{5}{2}}{-\frac{5}{2}+1}$=-$\frac{5}{3}$，BD的斜率k=$\frac{-3}{3+1}$=-$\frac{3}{4}$，
故z=$\overline{a}•\overline{b}$的取值范围是（-∞，-$\frac{5}{3}$]∩[-$\frac{3}{4}$，+∞），
故选：C．

点评 本题主要考查线性规划的应用以及直线斜率的计算，利用斜率数量积的关系将目标函数进行化简是解决本题的关键．