Question

20．四面体ABCD的四个顶点都在球O的球面上，AB=4，BC=CD=2，∠BCD=120°，AB⊥平面BCD，则球O的表面积为32π．

Answer 1

分析 取CD的中点E，连结AE，BE，作出外接球的球心，求出半径，即可求出表面积．

解答 解：取CD的中点E，连结AE，BE，
∵在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC=CD，
△BCD的外心为G，作OG∥AB交AB的中垂线HO于O，O为外接球的中心，
∵BC=CD=2，∠BCD=120°，
∴BD=$\sqrt{4+4-2×2×2×（-\frac{1}{2}）}$=2$\sqrt{3}$，
∴BG=$\frac{1}{2}$×$\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2
∴R=$\sqrt{4+4}$=2$\sqrt{2}$．
四面体ABCD外接球的表面积为：4πR²=32π．
故答案为：32π．

点评 本题考查球的内接体知识，考查空间想象能力，确定球的半径是解题的关键．