Question

11．长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，AA₁=1，若二面角A₁-BD-A的大小为$\frac{π}{6}$，则BD₁与面A₁BD所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{51}}{34}$．

Answer 1

分析 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出BD₁与面A₁BD所成角的正弦值．

解答 解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
设AD=t，则D（0，0，0），A₁（t，0，1），B（t，2，0），D₁（0，0，1），
$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=（t，0，1），$\overrightarrow{DB}$=（t，2，0），
设平面DA₁B的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{A}_{1}}=tx+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=tx+2y=0}\end{array}\right.$，取x=2，得$\overrightarrow{n}$=（2，-t，-2t），
又平面ABD的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），二面角A₁-BD-A的大小为$\frac{π}{6}$，
∴|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{m}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2t}{1×\sqrt{4+5{t}^{2}}}$=cos$\frac{π}{6}$，解得t=2$\sqrt{3}$，或t=-2$\sqrt{3}$（舍），
∴B（2$\sqrt{3}$，2，0），$\overrightarrow{B{D}_{1}}$=（-2$\sqrt{3}$，-2，1），$\overrightarrow{n}$=（2，-2$\sqrt{3}$，-4$\sqrt{3}$），
设BD₁与面A₁BD所成角为θ，
sinθ=$\frac{|\overrightarrow{B{D}_{1}}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{B{D}_{1}}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{17}•\sqrt{64}}$=$\frac{\sqrt{51}}{34}$．
∴BD₁与面A₁BD所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{51}}{34}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{51}}{34}$．

点评 本题考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．