Question

18．已知函数f（x）=sin（ωx-$\frac{π}{12}$）+cos（ωx-$\frac{π}{12}$）（0＜ω＜10）的图象关于直线x=1对称，则满足条件的ω的值的个数为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 利用三角函数恒等变换的应用化简可得函数解析式为f（x）=$\sqrt{2}$sin（ωx+$\frac{π}{6}$），从而可求其对称轴方程，由已知范围即可得解．

解答 解：∵f（x）=sin（ωx-$\frac{π}{12}$）+cos（ωx-$\frac{π}{12}$）
=$\sqrt{2}$[$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（ωx-$\frac{π}{12}$）+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos（ωx-$\frac{π}{12}$）]
=$\sqrt{2}$sin（ωx+$\frac{π}{6}$），
∴由ωx+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，可得解得对称轴方程为：x=$\frac{kπ+\frac{π}{3}}{ω}$，k∈Z，
∵图象关于直线x=1对称，可得：1=$\frac{kπ+\frac{π}{3}}{ω}$，k∈Z，即：ω=k$π+\frac{π}{3}$，k∈Z，
∴由题意可得：0＜ω=k$π+\frac{π}{3}$＜10，k∈Z，
∴解得：k=0时，ω=$\frac{π}{3}$满足要求；
k=1时，ω=$\frac{4π}{3}$满足要求；
k=2时，ω=$\frac{7π}{3}$满足要求；
故选：C．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，考查了分类讨论思想和转化思想，属于中档题．