Question

12．在平面直角坐标系xOy中，点P（a，b）（a＞b＞0）为动点，F₁，F₂分别为椭圆G$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的左、右焦点，A为椭圆G的左顶点，已知△F₁PF₂为等腰三角形．
（Ⅰ）求椭圆G的离心率；
（Ⅱ）过F₂的直线m：x=1与椭圆G相交于点M（M点在第一象限），平行于AM的直线l与椭圆G交于B，C两点，判断直线MB，MC是否关于直线m对称，并说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由a＞b，可得PF₁=F₁F₂，或PF₂=F₁F₂，设F₁（-c，0），F₂（c，0），运用两点的距离公式和离心率公式，计算即可得到所求值；
（Ⅱ）由已知条件得椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，即有A（-2，0），M（1，$\frac{3}{2}$），设直线l：y=$\frac{1}{2}$x+n，n≠1．设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），由 $\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+n}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$，得x²+nx+n²-3=0．再由根的判别式和韦达定理结合已知条件能求出直线MB，MC关于直线m对称．

解答 解：（Ⅰ）由a＞b，可得PF₁≠PF₂，
设F₁（-c，0），F₂（c，0），若PF₁=F₁F₂，
则$\sqrt{（a+c）^{2}+{b}^{2}}$=2c，即有a²+ac-2c²=0，①
由a＜c，可得a²+ac＜2c²，故方程①无解；
若PF₂=F₁F₂，
则$\sqrt{（a-c）^{2}+{b}^{2}}$=2c，即有a²-ac-2c²=0，
即有2e²+e-1=0，解得e=$\frac{1}{2}$（1舍去），
综上可得，椭圆G的离心率为$\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）由F₂（1，0），可得c=1，a=2，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
即有椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
∵A为椭圆G的左顶点，∴A（-2，0），M（1，$\frac{3}{2}$），
∴由题意可设直线l：y=$\frac{1}{2}$x+n，n≠1．
设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+n}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$，得x²+nx+n²-3=0．
由题意得△=n²-4（n²-3）=12-3n²＞0，
即n∈（-2，2）且n≠1．
x₁+x₂=-n，x₁x₂=n²-3．
∵k_MB+k_MC=k_MB+k_MC=$\frac{{y}_{1}-\frac{3}{2}}{{x}_{1}-1}$+$\frac{{y}_{2}-\frac{3}{2}}{{x}_{2}-1}$=$\frac{\frac{1}{2}{x}_{1}+n-\frac{3}{2}}{{x}_{1}-1}$+$\frac{\frac{1}{2}{x}_{2}+n-\frac{3}{2}}{{x}_{2}-1}$
=1+$\frac{n-1}{{x}_{1}-1}$+$\frac{n-1}{{x}_{2}-1}$=1+$\frac{（n-1）（{x}_{1}+{x}_{2}-2）}{{x}_{1}{x}_{2}-（{x}_{1}+{x}_{2}）+1}$
=1-$\frac{（n-1）（n+2）}{{n}^{2}+n-2}$=0，
故直线MB，MC关于直线m对称．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查两条直线是否关于已知直线对称的判断，解题时要认真审题，注意根的判别式和韦达定理的合理运用．