Question

【题目】椭圆C： 的左右焦点分别是F1 ， F2 ， 离心率为 ，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1 ， PF2 ， 设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1 ， PF2的斜率分别为k1 ， k2 ， 若k≠0，试证明 为定值，并求出这个定值．

Answer 1

【答案】
（1）解：把﹣c代入椭圆方程得 ，解得 ，

∵过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1，∴ ．

又 ，联立得 解得 ，

∴椭圆C的方程为

（2）解：如图所示，设|PF1|=t，|PF2|=n，

由角平分线的性质可得 ，

又t+n=2a=4，消去t得到 ，化为 ，

∵a﹣c＜n＜a+c，即 ，也即 ，解得 ．

∴m的取值范围；

（3）解：证明：设P（x0，y0），

不妨设y0＞0，由椭圆方程 ，

取 ，则 = ，

∴k= = ．

∵ ， ，

∴ = ，

∴ = =﹣8为定值．

【解析】（1）把﹣c代入椭圆方程得 ，解得 ，由已知过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1，可得 ．再利用 ，及a2=b2+c2即可得出；（2）设|PF1|=t，|PF2|=n，由角平分线的性质可得 ，利用椭圆的定义可得t+n=2a=4，消去t得到 ，化为 ，再根据a﹣c＜n＜a+c，即可得到m的取值范围；（3）设P（x0 ， y0），不妨设y0＞0，由椭圆方程 ，取 ，利用导数即可得到切线的斜率，再利用斜率计算公式即可得到k1 ， k2 ， 代入即可证明结论．