Question

【题目】在平面直角坐标系中，直线的参数方程为 (其中为参数）.现以坐标原点为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标标系，曲线的极坐标方程为.

（1）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）求直线被曲线截得的线段的长度.

Answer 1

【答案】(1) ， .

(2) .

【解析】分析：(1) 直线的参数方程利用代入法消去参数直线的普通方程为 ，

由得,利用 可得曲线的直角坐标方程；（2）将代入并化简得,利用韦达定理结合直线参数方程的几何意义即可得结果.

详解：(1)由消去参数t,可得，

故直线的普通方程为

由得,由即得

可得即,

故曲线的直角坐标方程为

(2)方法一:由(1)可知曲线表示(0,2)为圆心,2为半径的圆,

其中圆心到直线的距离为

所以直线被曲线截得的线段的长度为.

方法二:将代入并化简得,

因为直线过点P(0,1),所以设直线与曲线C的两交点分别为A,B

且,所以,

所以

故直线被曲线截得的线段的长度为.