Question

若函数f（x）=x³-3x+a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是

（-2，2）

．

Answer 1

分析：求导，令导数为零，求出函数的极大值和极小值，要使函数f（x）=x³-3x+a有3个不同的零点，只需函数的极大值大于零，且极小值小于零，解不等式组即可求得结果．

解答：解：∵f′（x）=3x²-3=0
解得x=1或x=-1，
当x∈（-1，1）时，f′（x）＜0，f（x）在（-1，1）上单调递减；
当x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（-∞，-1）、（1，+∞）上单调递增，
故当x=1时，f（x）取极小值-2+a，当x=-1时，f（x）取极大值2+a，
∵f（x）=x³-3x+a有三个不同零点，
∴

-2+a＜0 2+a＞0

，解得-2＜a＜2
∴实数a的取值范围是：（-2，2）．
故答案为：（-2，2）

点评：本题主要考查函数零点的判定方法，利用导数研究函数的极值和单调性，要使函数有三个零点，只要保证函数的极大值大于零和极小值小于零，是解题的关键，属中档题．