Question

14．已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n=k•2ⁿ+m，k≠0，且a₁=3．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{n}{{a}_{n}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由等比数列的求和公式可得k+m=0，由数列的首项可得2k+m=3，解得k=3，m=-3，运用等比数列的通项公式即可得到所求；
（2）b_n=$\frac{n}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{3}$n•（$\frac{1}{2}$）^n-1，运用数列的求和方法：裂项相消求和，结合等比数列的求和公式，化简整理即可的所求和．

解答 解：（1）等比数列{a_n}的前n项和为S_n=k•2ⁿ+m，
由等比数列的求和公式S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$=$\frac{{a}_{1}}{1-q}$-$\frac{{a}_{1}}{1-q}$•qⁿ，（q≠1），
可得k+m=0，又a₁=S₁=2k+m=3，
解得k=3，m=-3，
则n＞1时，a_n=S_n-S_n-1=3•2ⁿ-3-（3•2^n-1-3）
=3•2^n-1，对n=1也成立，
则a_n=3•2^n-1，n∈N^*；
（2）b_n=$\frac{n}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{3}$n•（$\frac{1}{2}$）^n-1，
前n项和T_n=$\frac{1}{3}$•1+$\frac{1}{3}$•2•$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$•3•（$\frac{1}{2}$）²+…+$\frac{1}{3}$n•（$\frac{1}{2}$）^n-1，
$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{3}$•$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$•2•（$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{3}$•3•（$\frac{1}{2}$）³+…+$\frac{1}{3}$n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
相减可得$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{2}$+（$\frac{1}{2}$）²+…+（$\frac{1}{2}$）^n-1）-$\frac{1}{3}$n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ
=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$•$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{1}{3}$n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
化简可得T_n=$\frac{2}{3}$（2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$）．

点评 本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和，化简整理的运算能力，属于中档题．