Question

已知数列{a_n}的前项n和为S_n，a₁=1，S_n与-3S_n+1的等差中项是-

3

2

(n∈N*)．
（1）证明数列{S_n-

3

2

}为等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）若对任意正整数n，不等式k≤S_n恒成立，求实数k的最大值．

Answer 1

分析：（1）由S_n与-3S_n+1的等差中项是-

3

2

，可得S_n-3S_n+1=-3，即S_n+1=

1

3

S_n+1，进而可得

Sn+1- 3 2

Sn- 3 2

=

1

3

，从而得到数列{S_n-

3

2

}为等比数列；
（2）由（1）中结合可得S_n=

3

2

-

1

2

×（

1

3

）^n-1，根据n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，n=1时，a_n=S_n，可求出数列{a_n}的通项公式；
（3）根据对数函数的图象和性质可得S_n=

3

2

-

1

2

×（

1

3

）^n-1是单调递增数列，若不等式k≤S_n恒成立，仅须k≤S_n的最小值S₁即可．

解答：解：（1）因为S_n与-3S_n+1的等差中项是-

3

2

，
所以S_n-3S_n+1=-3，即S_n+1=

1

3

S_n+1，…（2分）
由此得S_n+1-

3

2

=

1

3

（S_n-

3

2

），…（3分）
即

Sn+1- 3 2

Sn- 3 2

=

1

3

，…（4分）
又∵S₁-

3

2

=a₁-

3

2

=-

1

2

，
所以数列{S_n-

3

2

}是以-

1

2

为首项，

1

3

为公比的等比数列．…（5分）
（2）由（1）得S_n-

3

2

=-

1

2

×（

1

3

）^n-1，即S_n=

3

2

-

1

2

×（

1

3

）^n-1，…（6分）
所以，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=[

3

2

-

1

2

×（

1

3

）^n-1]-[

3

2

-

1

2

×（

1

3

）^n-2]=

1

3n-1

…（8分）
又n=a时，a₁=1也适合上式，
所以a_n=

1

3n-1

．…（9分）
（3）要使不等式k≤S_n对任意正整数n恒成立，即k小于或等于S_n的所有值．
又因为S_n=

3

2

-

1

2

×（

1

3

）^n-1是单调递增数列，…（10分）
且当n=1时，S_n取得最小值1，…（11分）
要使k小于或等于S_n的所有值，即k≤1，…（13分）
所以实数k的最大值为．…（14分）

点评：本题考查的知识点是等比数列的确定，数列的通项公式，恒成立问题，数列的单调性，是数列问题的综合应用，难度较大．