Question

5．经过点A（1，0）的动直线交抛物线y²=8x于M、N两点，求动弦MN中点的轨迹．

Answer 1

分析 设MN的斜率为k，得出直线MN方程，联立方程组，利用根与系数的关系求出MN的中点坐标与k的关系，消参数得出中点方程．

解答 解：设过A点的直线方程为y=k（x-1），
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y}^{2}=8x}\end{array}\right.$，消元得y²-$\frac{8y}{k}$-8=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则y₁+y₂=$\frac{8}{k}$，y₁y₂=8．
∴x₁+x₂=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{k}+2$=$\frac{8}{{k}^{2}}$+2．
设MN的中点坐标为（x，y），
则$\left\{\begin{array}{l}{2x=\frac{8}{{k}^{2}}+2}\\{2y=\frac{8}{k}}\end{array}\right.$，消元得x=$\frac{{y}^{2}}{4}+1$，即y²=4（x-1）．

点评 本题考查了直线与抛物线的关系，中点坐标公式，属于中档题．