Question

10．已知抛物线C：x²=2py（p＞0）上一点M（x₀，4）到焦点F的距离为5．
（1）求抛物线C的方程；
（2）已知点P（0，m），Q（0，-m）（m＞0），过点P作直线与抛物线C交于A，B两点，试判断：若$\overrightarrow{AP}$=$λ\overrightarrow{PB}$（λ为实数），是否恒有$\overrightarrow{QP}•$$\overrightarrow{QA}$=$λ\overrightarrow{QP}•\overrightarrow{QB}$成立，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用抛物线C：x²=2py（p＞0）上一点M（x₀，4）到焦点F的距离为5，根据抛物线的定义，求出p，即可求抛物线C的方程；
（2）可设直线AB的方程为y=kx+m，代入抛物线方程x²=4y得x²-4kx-4m=0．设A、B两点的坐标分别是（x₁，y₁）、（x₂，y₂），x₁x₂=-4m．由$\overrightarrow{AP}$=$λ\overrightarrow{PB}$，得$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=λ，由此可以推出$\overrightarrow{QP}•$$\overrightarrow{QA}$=$λ\overrightarrow{QP}•\overrightarrow{QB}$．

解答 解：（1）∵抛物线C：x²=2py（p＞0）上一点M（x₀，4）到焦点F的距离为5，
∴4+$\frac{p}{2}$=5，
∴p=2，
∴抛物线C的方程x²=4y；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由$\overrightarrow{AP}$=$λ\overrightarrow{PB}$，得$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=λ，
设$\overrightarrow{QP}•$$\overrightarrow{QA}$=μ$\overrightarrow{QP}$•$\overrightarrow{QB}$成立，则$\overrightarrow{QP}$•（$\overrightarrow{QA}$-μ$\overrightarrow{QB}$）=0
∴2m[y₁-μy₂+（1-μ）m]=0
从而$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$-μ•$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$+（1-μ）m=0，
设l方程为：y=kx+m，代入抛物线方程，得：x²-4kx-4m=0，
所以x₁•x₂=-4m，
把x₁•x₂=-4m；
代入上式得（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）²-（1-μ）$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$-μ=0，
则λ²+（1-μ）λ-μ=0，
所以λ=-1或λ=μ，而显然λ＞0，
所以λ=μ，
所以恒有$\overrightarrow{QP}•$$\overrightarrow{QA}$=$λ\overrightarrow{QP}•\overrightarrow{QB}$成立．

点评 本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，考查圆的方程，考查向量知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．