Question

下列命题中，假命题是（　　）

• A、若a，b∈R且a+b=1，则a•b≤

  1

  4

• B、若a，b∈R，则

  a2+b2

  2

  ≥（

  a+b

  2

  ）²≥ab恒成立
• C、

  x2+3

  x2+1

  （x∈R） 的最小值是2

  2

• D、?x₀，y₀∈R，x₀²+y₀²+x₀y₀＜0

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：A．a，b∈R且a+b=1，考虑a，b＞0时，利用基本不等式可得1≥2

ab

；
B．a，b∈R，由a²+b²≥2ab，可得2（a²+b²）≥（a+b）²，即可得出

a2+b2

2

≥（

a+b

2

）²≥ab；
C．变形利用基本不等式

x2+3

x2+1

=

x2+1

+

2

x2+1

≥2

2

，即可；
D．由于x₀²+y₀²+x₀y₀=(x0+

1

2

y0)2+

3

4

y

2 0

＞0．即可判断出．

解答： 解：A．a，b∈R且a+b=1，考虑a，b＞0时，1≥2

ab

，则a•b≤

1

4

正确；
B．a，b∈R，∵a²+b²≥2ab，∴2（a²+b²）≥（a+b）²，则

a2+b2

2

≥（

a+b

2

）²≥ab恒成立；
C.

x2+3

x2+1

=

x2+1

+

2

x2+1

≥2

2

，当且仅当x²=1时取等号，因此

x2+3

x2+1

（x∈R） 的最小值是2

2

，正确；
D．x₀²+y₀²+x₀y₀=(x0+

1

2

y0)2+

3

4

y

2 0

≥0．∴不?x₀，y₀∈R，使得x₀²+y₀²+x₀y₀＜0成立．
综上可知：只有D是假命题．
故选；D．

点评：本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．