Question

9．若函数f（x）=k-$\frac{{{x^4}-3{x^2}}}{x}$有三个零点，则实数k的取值范围是（-2，0）∪（0，2）．

Answer 1

分析 根据函数与零点的关系将函数转化为两个函数图象的交点个数问题，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：由f（x）=k-$\frac{{{x^4}-3{x^2}}}{x}$=0得k=$\frac{{{x^4}-3{x^2}}}{x}$，
设g（x）=$\frac{{{x^4}-3{x^2}}}{x}$，
若函数f（x）=k-$\frac{{{x^4}-3{x^2}}}{x}$有三个零点，
等价为y=k，和g（x）有三个交点，
g（x）=$\frac{{{x^4}-3{x^2}}}{x}$=x³-3x，（x≠0），
函数的导数g′（x）=3x²-3=3（x²-1），
由g′（x）＞0得x＞1或x＜-1，此时函数单调递增，
由g′（x）＜0得-1＜x＜0或0＜x＜1，此时函数单调递减，
即当x=1时，函数取得极小值，g（1）=-2，
当x=-1时，函数取得极大值，g（-1）=2，
要使y=k，和g（x）有三个交点，
则0＜k＜2或-2＜k＜0，
即实数k的取值范围是（-2，0）∪（0，2），
故答案为：（-2，0）∪（0，2）

点评 本题主要考查函数与零点的应用，根据函数与方程的关系转化为两个函数的图象的交点问题，构造函数，求函数的导数，利用数形结合是解决本题的关键．