Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=2n²+n-1，数列{b_n}满足b₁+3b₂+…+（2n-1）b_n=（2n-3）•2ⁿ⁺¹，
求：数列{a_nb_n}的前n项和T_n．

Answer 1

当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=4n-1，而a₁=2，
∴an=

2(n=1) 4n-1(n≥2)

当n≥2时，（2n-1）•b_n=（2n-3）•2ⁿ⁺¹-（2n-5）•2ⁿ=2ⁿ（2n-1）
∴b_n=2ⁿ，而b₁=-4，∴bn=

-4(n=1) 2n(n≥2)

∴T_n=-8+[2²×7+2³×11+…+2ⁿ（4n-1）]
记S=2²×7+2³×11+2⁴×15+…+2ⁿ（4n-1）①
∴2S=2³×7+2⁴×11+2⁵×15++2ⁿ（4n-5）+2ⁿ⁺¹（4n-1）②
①-②得：
∴-S=28+4（2³+2⁴++2ⁿ）-2ⁿ⁺¹（4n-1）
-S=28+32（2^n-1-1）-2ⁿ⁺¹（4n-1）=-4+2ⁿ⁺¹（5-4n）
∴S=4+2ⁿ⁺¹（4n-5）
T_n=2ⁿ⁺¹（4n-5）-4