Question

19．已知$0＜β＜\frac{π}{2}＜α＜π$，且$cos（{α-\frac{β}{2}}）=\frac{5}{13}$，$sin（{\frac{α}{2}-β}）=\frac{3}{5}$．
求（1）$tan（{α-\frac{β}{2}}）$的值；
（2）$cos（{\frac{α+β}{2}}）$的值．

Answer 1

分析 （1）利用同角三角函数的基本关系，求得$tan（{α-\frac{β}{2}}）$的值．
（2）利用同角三角函数的基本关系求得cos（$\frac{α}{2}$-β）的值，再利用两角差的余弦公式求得$cos（{\frac{α+β}{2}}）$的值．

解答 解：（1）∵$0＜β＜\frac{π}{2}＜α＜π$，且$cos（{α-\frac{β}{2}}）=\frac{5}{13}$，
∴α-$\frac{β}{2}$为锐角，故sin（α-$\frac{β}{2}$）=$\sqrt{{1-cos}^{2}（α-β）}$=$\frac{12}{13}$，∴$tan（{α-\frac{β}{2}}）$=$\frac{5}{12}$．
（2）∵$sin（{\frac{α}{2}-β}）=\frac{3}{5}$，∴$\frac{α}{2}$-β为锐角，∴cos（$\frac{α}{2}$-β）=$\sqrt{{1-sin}^{2}（\frac{α}{2}-β）}$=$\frac{4}{5}$，
∴$cos（{\frac{α+β}{2}}）$=cos[（α-$\frac{β}{2}$）-（$\frac{α}{2}$-β）]
=cos（α-$\frac{β}{2}$）cos（$\frac{α}{2}$-β）+sin（α-$\frac{β}{2}$）sin（$\frac{α}{2}$-β）=$\frac{5}{13}$•$\frac{4}{5}$+$\frac{12}{13}$•$\frac{3}{5}$=$\frac{56}{65}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式的应用，属于基础题．