Question

9．命题“?x∈（1，+∞），都有x²-lnx＞$\frac{a}{x}$成立”为真命题，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，1]
• B． （-∞，1）
• C． [1，+∞）
• D． （1，+∞）

Answer 1

分析 命题“?x∈（1，+∞），都有x²-lnx＞$\frac{a}{x}$成立”为真命题?“?x∈（1，+∞），都有a＜x³-xlnx恒成立“，令f（x）=x³-xlnx，（x＞1），求出f（x）的值域即可．

解答 解：命题“?x∈（1，+∞），都有x²-lnx＞$\frac{a}{x}$成立”为真命题?“?x∈（1，+∞），都有a＜x³-xlnx恒成立“，
令f（x）=x³-xlnx，（x＞1），f′（x）=3x²-lnx-1，），f″（x）=6x-$\frac{1}{x}$＞0，∴f′（x）在（1，+∞）上递增，且f′（1）=2＞0，
∴f′（x）＞0在∈（1，+∞）上恒成立，f（x）在（1，+∞）上递增，f（x）＞f（1）=1，∴a≤1．
故选：A．

点评 本题考查了全称命题成立，求参数范围，转化为恒成立问题是关键，属于基础题．