Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+3是偶函数，且其图象过点（-1，4）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函数F（x）=f（e^x-a）+f（e^-x-a）的最小值．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合,二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由偶函数性质f（-x）=f（x）解得b=0，然后图象过点（-1，4）得a=1，可得函数解析式，（2）先化简F（x），然后令t=e^x+e^-x，换元后利用二次函数性质分类讨论求最小值．

解答： 解：（1）由函数f（x）=ax²+bx+3是偶函数，则有f（-x）=f（x），即ax^2_-bx+3=ax²+bx+3，解得b=0，
    又其图象过点（-1，4）得f（-1）=4，即a+3=4，解得a=1
    则f（x）=x²+3；
（2）F（x）=f（e^x-a）+f（e^-x-a）=（e^x+e^-x）²-2a（e^x+e^-x）+2a²+4，
令t=e^x+e^-x，（t≥2），
令h（t）=t²-2at+2a²+4=（t-a）²+a²+4，
当a≤2时，h（t）_min=h（2）=2a²-4a+8，
当a＞2时，h（t）_min=h（a）=a²+4，
综上，F（x）=

2a2-4a+8，a≤2 a2+4，a＞2

．

点评：本题考查函数最值问题，利用了函数的奇偶性以及二次函数的性质，属于基础题目．