Question

18．数列{a_n}的前n项和S_n=n²+n，数列{b_n}满足b_n=$\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$．
（1）求证：数列{a_n}是等差数列；
（2）求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）根据a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$计算a_n，利用定义判断；
（2）求出b_n，使用裂项法求和．

解答 解：（1）n=1时，a₁=S₁=2，
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²+n-[（n-1）²+（n-1）]=2n，
显然当n=1时，上式也成立，
∴a_n=2n，
∴当n≥2时，a_n-a_n-1=2n-2（n-1）=2，
∴{a_n}是以2为首项，以2为公差的等差数列．
（2）b_n=$\frac{1}{2n（2n+2）}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），设数列{b_n}的前n项和为T_n，
∴T_n=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$）=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{n}{4（n+1）}$．

点评 本题考查了等差关系的判断，通项公式的求法和裂项法求和，属于中档题．