Question

8．已知函数f（x）=$\frac{ln（5-x）}{\sqrt{x+3}}$的定义域为M，N={x|a+1＜x＜2a-1}，
（1）当a=4时，求（∁_RM）∩N；
（2）若N⊆M，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求出M，N，再求（∁_RM）∩N；
（2）若N⊆M，分类讨论，建立不等式，即可求实数a的取值范围．

解答 解：（1）函数f（x）=$\frac{ln（5-x）}{\sqrt{x+3}}$中x满足的条件$\left\{\begin{array}{l}{5-x＞0}\\{x+3＞0}\end{array}\right.$，∴-3＜x＜5，
∴f（x）的定义域M=（-3，5）．
当a=4时，∁_RM=（-∞，-3]∪[5，+∞），N=（5，7），
∴（∁_RM）∩N=（5，7）…（4分）
（2）①当N=∅时，即a+1≥2a-1，有a≤2；     …（6分）
②当N≠∅，则$\left\{\begin{array}{l}{2a-1≤5}\\{a+1≥-3}\\{2a-1＞a+1}\end{array}\right.$，解得2＜a≤3，…（8分）
综合①②得a的取值范围为a≤3．…（12分）

点评 本题考查函数的定义域，考查集合的运算与关系，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．