Question

11．探究函数y=4$\sqrt{x-1}$+3$\sqrt{5-x}$的最大值与最小值，如有最大值与最小值，一并求出何时取到最大值与最小值．

Answer 1

分析 由函数y=f（x）=4$\sqrt{x-1}$+3$\sqrt{5-x}$，可得x∈[1，5]，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．

解答 解：由函数y=f（x）=4$\sqrt{x-1}$+3$\sqrt{5-x}$，可得x∈[1，5]，
∴f′（x）=$\frac{4\sqrt{5-x}-3\sqrt{x-1}}{2\sqrt{（x-1）（5-x）}}$，
令f′（x）≤0，解得5≥x≥$\frac{89}{25}$，此时函数f（x）单调递增；
令f′（x）≥0，解得$\frac{89}{25}$≥x≥1，此时函数f（x）单调递减．
∴当x=$\frac{89}{25}$时，函数f（x）取得最小值f（$\frac{89}{25}$）=$\frac{58}{5}$，
又f（1）=6，f（5）=8．∴函数的最大值为8．

点评 本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．