Question

3．设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA．
（1）求B的大小；
（2）若a=3$\sqrt{3}$，c=5，求b和三角形ABC的面积S．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理，结合特殊角的正弦函数值，即可得到角B；
（2）由余弦定理，计算可得b，再由三角形的面积公式计算可得S．

解答 解：（1）由a=2bsinA，
根据正弦定理得sinA=2sinBsinA，
所以$sinB=\frac{1}{2}$，
由△ABC为锐角三角形得$B=\frac{π}{6}$．  
（2）根据余弦定理，得b²=a²+c²-2accosB=27+25-2×3$\sqrt{3}$×5×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=7．
所以$b=\sqrt{7}$．   
则${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}acsinB=\frac{1}{2}×3\sqrt{3}×5×sin\frac{π}{6}=\frac{{15\sqrt{3}}}{4}$．

点评 本题考查正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的运用，考查运算能力，属于中档题．