Question

18．不等式8x⁴+8（a-2）x²-a+5＞0对任意x都成立，求a的范围．

Answer 1

分析 令f（x）=8x⁴+8（a-2）x²-a+5，通过对a分类讨论利用导数研究其单调性，只要证明f（x）_min＞0即可得出．

解答 解：令f（x）=8x⁴+8（a-2）x²-a+5，
则f′（x）=32x³+16（a-2）x=32x（x²+$\frac{a-2}{2}$）．
①当a≥2时，令f′（x）=0，解得x=0．
当x＞0时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
当x＜0时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．
因此，当x=0时，f（x）取得极小值，即最小值，
由题意f（0）=-a+5＞0，解得a＜5．
∴2≤a＜5．
②当a＜2时，令f′（x）=0，解得x=0，±$\sqrt{\frac{2-a}{2}}$．
令f′（x）＞0，解得-$\sqrt{\frac{2-a}{2}}$＜x＜0，或x＞$\sqrt{\frac{2-a}{2}}$；
令f′（x）＜0，解得x＜-$\sqrt{\frac{2-a}{2}}$，或0＜x＜$\sqrt{\frac{2-a}{2}}$．
∴函数f（x）在x=±$\sqrt{\frac{2-a}{2}}$时取得极小值．
且为8（$\frac{2-a}{2}$）2+8（a-2）•（$\frac{2-a}{2}$）-a+5＞0，
化为2a²-7a+3＜0，解得$\frac{1}{2}$＜a＜3．
又a＜2，∴$\frac{1}{2}$＜a＜2．
综上可知：a的取值范围是$\frac{1}{2}$＜a＜5．

点评 熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值、分类讨论的思想方法等是解题的关键．