Question

20．已知焦距为2$\sqrt{6}$的椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）经过点A（2，1）
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知直线l：x-2y-$\sqrt{6}$=0，直线l′平行于直线l，且与椭圆C交于不同的两点M、N，记直线AM的倾斜角为θ₁，直线AN的倾斜角为θ₂，试探究θ₁+θ₂是否为定值，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知可得椭圆的焦距，再由椭圆过点A（2，1）可得关于a，b的方程，结合隐含条件求得a，b，则椭圆方程可求；
（2）设出与直线l：x-2y-$\sqrt{6}$=0平行的直线l′的方程为x-2y+m=0，与椭圆方程联立，写出直线AM，AN的斜率，由斜率和为0可得θ₁+θ₂为定值π．

解答 解：（1）由题意可得，2c=$2\sqrt{6}$，则c=$\sqrt{6}$，
又椭圆经过点A（2，1），
∴$\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}=1$，又a²=b²+c²，
∴b²=2，a²=8，
则椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）∵直线l：x-2y-$\sqrt{6}$=0，
∴可设直线l′的方程为x-2y+m=0，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+m=0}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，可得8y²-4my+m²-8=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∴y₁+y₂=$\frac{m}{2}$，y₁y₂=$\frac{{m}^{2}-8}{8}$，
∴x₁+x₂=2（y₁+y₂）-2m=-m，x₁x₂=（2y₁-m）（2y₂-m）=$4{y}_{1}{y}_{2}-2m（{y}_{1}+{y}_{2}）+{m}^{2}$=$\frac{{m}^{2}}{2}-4$，
∴k_AM+k_AN=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}-2}+\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}-2}$=$\frac{{x}_{2}{y}_{1}-{x}_{2}-2{y}_{1}+2+{x}_{1}{y}_{2}-{x}_{1}-2{y}_{2}+2}{（{x}_{1}-2）（{x}_{2}-2）}$
=$\frac{4{y}_{1}{y}_{2}-（2+m）（{y}_{1}+{y}_{2}）-（{x}_{1}+{x}_{2}）+4}{（{x}_{1}-2）（{x}_{2}-2）}$=0，
∴tanθ₁+tanθ₂=0，
即θ₁+θ₂=π．

点评 本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，椭圆方程的求法．考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想，是中档题．