Question

如图，三角形ABC中，AC⊥BC，平面PAC⊥平面ABC，PA=PC=AC=2，BC=3，E，F分别是PC，PB的中点，记平面AEF与平面ABC的交线为直线l．
（1）求证：直线l∥BC；
（2）若直线l上一点Q满足BQ∥AC，求平面PAC与平面EQB的夹角的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由三角形中位线定理得BC∥EF，由直线与平面平行判定定理得BC∥平面EFA，由此能证明l∥BC．
（2）由已知得四边形AQBC为矩形，取AC的中点M，连接PM，推导出PM、AC、BC两两垂直，以C为原点，分别以

CA

、

CB

、

MP

的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，利用向量法能求出平面PAC与平面EQB的夹角的余弦值．

解答： （1）证明：∵E，F分别为PB，PC中点，∴BC∥EF，
又EF⊆平面EFA，BC?平面EFA，
∴BC∥平面EFA
又BC⊆平面ABC，平面EFA∩平面ABC=l，
∴l∥BC．…（5分）
（2）解：∵l∥BC，BQ∥AC，AC⊥BC，
∴四边形AQBC为矩形，∴AQ=BC=3，…（6分）
取AC的中点M，连接PM，∵PA=PC=AC=2，∴PM⊥AC，
又∵平面PAC⊥平面ABC，
平面PAC∩平面ABC=AC，PM⊆平面PAC
∴PM⊥平面ABC，∴PM、AC、BC两两垂直
以C为原点，分别以

CA

、

CB

、

MP

的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，
建立空间直角坐标系C-xyz，（如图）
∴C(0，0，0)，A(2，0，0)，P(1，0，

3

)，
E(

1

2

，0，

3

2

)，B(0，3，0)，Q(2，3，0)
∴

BQ

=(2，0，0)，

BE

=(

1

2

，-3，

3

2

)
设平面EQB的法向量

n

=(x，y，z)，
则

n • BQ =0 n • BE =0

，即

2x=0 1 2 x-3y+ 3 2 z=0

∴x=0，取y=

3

，则z=6，所以

n

=(0，

3

，6)
又平面PAC的一个法向量

m

=(0，1，0)…（10分）
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

3

1× 39

=

13

13

∴平面PAC与平面EQB的夹角的余弦值为

13

13

． …（12分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查平面与平面夹角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．