Question

如图，在三棱锥D－ABC中，已知△BCD是正三角形，AB⊥平面BCD，AB＝BC＝a，E为BC的中点，F在棱AC上，且AF＝3FC．

（1）求证AC⊥平面DEF；
（2）若M为BD的中点，问AC上是否存在一点N，使MN∥平面DEF？若存在，说明点N的位置；若不存在，试说明理由．
（3）求平面ABD与平面DEF所成锐二面角的余弦值。

Answer 1

解（证明）（1）∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥BC，AB⊥BD．
∵△BCD是正三角形，且AB＝BC＝a，∴AD＝AC＝．
设G为CD的中点，则CG＝，AG＝．
∴，，．
三棱锥D－ABC的表面积为．
（2）取AC的中点H，∵AB＝BC，∴BH⊥AC．
∵AF＝3FC，∴F为CH的中点．
∵E为BC的中点，∴EF∥BH．则EF⊥AC．
∵△BCD是正三角形，∴DE⊥BC．
∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥DE．
∵AB∩BC＝B，∴DE⊥平面ABC．∴DE⊥AC．
∵DE∩EF＝E，∴AC⊥平面DEF．
（3）存在这样的点N，
当CN＝时，MN∥平面DEF．
连CM，设CM∩DE＝O，连OF．
由条件知，O为△BCD的重心，CO＝CM．
∴当CF＝CN时，MN∥OF．∴CN＝．

解析