Question

15．（1）若双曲线$\frac{{x}^{2}}{5}$-$\frac{{y}^{2}}{m}$=1的离心率e∈（1，2），求实数m的取值范围；
（2）若方程$\frac{{x}^{2}}{2t}$-$\frac{{y}^{2}}{t-1}$=1表示椭圆，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求得双曲线的a，b，c，由离心率公式e=$\frac{c}{a}$，结合条件解不等式即可得到所求范围；
（2）将方程化为标准方程，由题意可得2t＞0，1-t＞0，且2t≠1-t，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：（1）双曲线$\frac{{x}^{2}}{5}$-$\frac{{y}^{2}}{m}$=1的a=$\sqrt{5}$，b=$\sqrt{m}$，
c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{5+m}$，
可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5+m}}{\sqrt{5}}$，
由1＜$\frac{\sqrt{5+m}}{\sqrt{5}}$＜2，解得0＜m＜15．
则m的取值范围是（0，15）；
（2）方程$\frac{{x}^{2}}{2t}$-$\frac{{y}^{2}}{t-1}$=1表示椭圆，
即有方程为$\frac{{x}^{2}}{2t}$+$\frac{{y}^{2}}{1-t}$=1，
可得2t＞0，1-t＞0，且2t≠1-t，
即0＜t＜1，且t≠$\frac{1}{3}$，
则实数t的取值范围为（0，$\frac{1}{3}$）∪（$\frac{1}{3}$，1）．

点评 本题考查双曲线和椭圆的方程和性质，主要是离心率，考查运算能力，属于基础题．