Question

20．设a=${∫}_{0}^{π}$（sinx-1+2cos²$\frac{x}{2}$）dx，则（a$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）⁶的展开式中常数项是-1280．

Answer 1

分析 利用二项式定理可知（a$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）⁶的展开式中通项公式T_k，进而可确定展开式中常数项为T₃，利用微积分基本定理化简可知a=2，代入计算即可．

解答 解：（a$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）⁶的展开式中通项公式T_k=${C}_{6}^{k}$$（a\sqrt{x}）^{6-k}$$（-\frac{1}{\sqrt{x}}）^{k}$=（-1）^ka⁶${C}_{6}^{k}$x^3-k，
令x^3-k=1，解得k=3，即展开式中常数项为T₃=-20a⁶，
又∵a=${∫}_{0}^{π}$（sinx-1+2cos²$\frac{x}{2}$）dx
=${∫}_{0}^{π}$（sinx+cosx）dx
=sinx-cosx${|}_{0}^{π}$
=2，
∴T₃=-20×2⁶=-1280，
故答案为：-1280．

点评 本题考查二项式系数的性质，涉及定积分的计算，注意解题方法的积累，属于中档题．