Question

18．已知函数f（x）=sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$-$\sqrt{3}$sin²$\frac{x}{2}$．
（1）将f（x）化为y=Asin（ωx+φ）+B（A≠0，ω＞0，φ∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$））的形式；
（2）求f（x）的最小正周期和值域．

Answer 1

分析 （1）由条件利用三角恒等变换，化简函数f（x）的解析式，可得结论．
（2）根据函数f（x）的解析式，利用正弦函数的周期性、正弦函数的值域，得出结论．

解答 解：（1）函数f（x）=sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$-$\sqrt{3}$sin²$\frac{x}{2}$=$\frac{1}{2}$sinx-$\sqrt{3}$•$\frac{1-cosx}{2}$=sin（x+$\frac{π}{3}$）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
（2）由f（x）的解析式可得它的最小正周期为2π．
∵sin（x+$\frac{π}{3}$）∈[-1，1]，∴f（x）∈[-1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$]．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、正弦函数的值域，属于基础题．