Question

已知f（x）=

ax+b

x2+1

是定义在R上的奇函数，且f（x）的图象经过点（1，

1

2

）．
（1）求实数a，b的值；
（2）求证：y=f（x）在（1，+∞）是减函数．

Answer 1

分析：（1）根据奇函数过点（0，0）代入可求得b的值，再根据函数图象过点（1，

1

2

），从而求出a值；
（2）由（1）知道函数的解析式，要证y=f（x）在（1，+∞）是减函数，只需要证f′（x）在（1，+∞）上小于0即可；

解答：（1）解：因为f（x）=

ax+b

x2+1

是定义在R上的奇函数
所以f（0）=0
所以b=0
又因为f（x）的图象经过点（1，

1

2

），
所以 f（1）=

a

2

=

1

2

所以a=1，b=0
（2）∵f（x）=

x

x2+1

，
∴f′（x）=

x2+1-2x×x

(x2+1)2

=

-x2+1

(x2+1)2

，
∵x＞1，可得-x²+1＜0，
可以推出f′（x）＜0，在（1，+∞）上成立，
∴y=f（x）在（1，+∞）是减函数．

点评：此题主要考查函数的奇偶性以及利用导数证明函数的单调性，这是一种新的工具，本题比较简单；