Question

已知公比0＜q＜1的等比数列{a_n}满足a₈+a₂=

28

3

，log₃a₃+log₃a₇=1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=na_2n，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件，结合等比数列和对数函数的性质，推导出a2 和a8 是方程x2-

28

3

x+3=0的两个根，解方程求出a2 和a8 ，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由（1）和b_n=na_2n，推导出b_n=9n•(

1

3

)n，由此利用裂项求和法能求出数列{b_n}的前n项和S_n．

解答： 解：（1）∵公比0＜q＜1的等比数列{a_n}满足a₈+a₂=

28

3

，log₃a₃+log₃a₇=1，
∴

a8+a2= 28 3 a2•a8=3

，且a2＞a8 ，
∴a2 和a8 是方程x2-

28

3

x+3=0的两个根，
解方程x2-

28

3

x+3=0，得：
x1=

1

3

，x₂=9，
∴a2=a1 q=9，
a8=a1q7=

1

3

，
∴a1=9

3

，q=

3

3

，
∴an=9

3

•(

3

3

)n-1．
（2）∵an=9

3

•(

3

3

)n-1，
∴b_n=na_2n=n•9

3

•（

3

3

）^2n-1=9n•(

1

3

)n，
∴S_n=9•1•

1

3

+9•2•(

1

3

)²+9•3•(

1

3

)³+…+9n•（

1

3

）ⁿ，①

1

3

Sn=9•1•(

1

3

)²+9•2•(

1

3

)³+9•3•（

1

3

）⁴+…+9n•（

1

3

）ⁿ⁺¹，②
①-②，得：

2

3

Sn=3+9[（

1

3

）²+（

1

3

）³+（

1

3

）⁴+…+（

1

3

）ⁿ]-9n•（

1

3

）ⁿ⁺¹
=3+9×

1 9 [1-( 1 3 )n-1]

1- 1 3

-9n•（

1

3

）ⁿ⁺¹=3+

3

2

[1-（

1

3

）^n-1]-9n•（

1

3

）ⁿ⁺¹．
∴S_n=

9

2

+1-（

1

3

）^n-1-

3

2

•9n•（

1

3

）ⁿ⁺¹=

11

2

-3•（

1

3

）ⁿ-

9

2

n•（

1

3

）ⁿ=

11

2

-（3+

9n

2

）•（

1

3

）ⁿ．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列前n项和的求法，是中档题，解题时要注意裂项求和法的合理运用．