Question

已知半径为2，圆心在直线y=-x+2上的圆C．
（Ⅰ）当圆C经过点A（2，2）且与y轴相切时，求圆C的方程；
（Ⅱ）已知E（1，1），F（1，-3），若圆C上存在点Q，使|QF|²-|QE|²=32，求圆心的横坐标a的取值范围．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：综合题,直线与圆

分析：（Ⅰ）可设圆心坐标为（a，-a+2），圆的方程为（x-a）²+[y-（-a+2）]²=4，利用圆经过点A（2，2）且与y轴相切，建立方程，即可求圆C的方程；
（Ⅱ）设Q（x，y），则由|QF|²-|QE|²=32得y=3，即Q在直线y=3上，根据Q在（x-a）²+[y-（-a+2）]²=4上，可得⊙C与直线y=3有交点，从而可求圆心的横坐标a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵圆心在直线y=-x+2上，
∴可设圆心坐标为（a，-a+2），圆的方程为（x-a）²+[y-（-a+2）]²=4，
∵圆经过点A（2，2）且与y轴相切，
∴有

(2-a)2+[2-(-a+2)]2=4 |a|=2

解得a=2，
∴所求方程是：（x-2）²+y²=4；
（Ⅱ）设Q（x，y），则由|QF|²-|QE|²=32得：（x-1）²+（y+3）²-[（x-1）²+（y-1）²]=32，即y=3，
∴Q在直线y=3上，
∵Q在（x-a）²+[y-（-a+2）]²=4上，
∴⊙C与直线y=3有交点，
∵⊙C的圆心纵坐标为-a+2，半径为2，
∴⊙C与直线y=3有交点的充要条件是1≤-a+2≤5，
∴-3≤a≤1，即圆心的横坐标a的取值范围是-3≤a≤1．

点评：本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．