Question

2．已知关于x的不等式|x+a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}．
（I）求实数a，b的值；
（II）求$\sqrt{at+12}$$+\sqrt{bt}$的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由不等式的解集可得ab的方程组，解方程组可得；
（Ⅱ）代入a，b的值，由柯西不等式可得最大值．

解答 解：（I）由|x+a|＜b，得-b-a＜x＜b-a，
则$\left\{\begin{array}{l}{-b-a=2}\\{b-a=4}\end{array}\right.$，解得a=-3，b=1                    …（5分）
（II）$\sqrt{-3t+12}+\sqrt{t}=\sqrt{3}\sqrt{4-t}+\sqrt{t}≤\sqrt{{{（\sqrt{3}）}^2}+{1^2}}•\sqrt{{{（\sqrt{4-t}）}^2}+{{（\sqrt{t}）}^2}}$
=2$\sqrt{4-t+t}$=4
当且仅当$\frac{\sqrt{4-t}}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{t}}{1}$，即t=1时等号成立，
故所求不等式的最大值是4                        …（10分）

点评 本题考查不等关系与不等式，涉及柯西不等式求最值，属基础题．