Question

已知函数f（x）=x²ln|x|，
（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先判断函数的定义域是否关于原点对称，再利用偶函数的定义证明f（-x）=f（x）即可得证；
（Ⅱ）由于函数f（x）为偶函数，故先研究函数当x＞0时的单调区间，再利用对称性得函数定义域上的单调性，当x＞0时，先求函数的导函数，再解不等式即可得函数的单调区间

解答：解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为{x|x∈R且X≠0}
f（-x）=（-x）²ln|-x|=）=x²ln|x|=f（x）
∴f（x）为偶函数   
（Ⅱ）当x＞0时，f′（x）=2x•lnx+x²•

1

x

=x（2lnx+1）
若0＜x＜e-

1

2

，则f′（x）＜0，f（x）递减；
若x＞e-

1

2

，则f′（x）＞0，f（x）递增； 再由f（x）是偶函数，
得f（x）的递增区间是（-∞，-e-

1

2

）和（e-

1

2

，+∞）；
递减区间是（-e-

1

2

，0）和（0，e-

1

2

）．

点评：本题主要考查了函数奇偶性的定义及其判断方法，求函数单调区间的方法：导数法和对称性法，利用对称性由局部研究整体的思想方法