Question

16．（x²+2x-1）⁵的展开式中，x³的系数为40（用数字作答）

Answer 1

分析 先求得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于3，求得r、r′的值，从而求得x³项的系数．

解答 解：式子（x²+2x-1）⁵ =[（x²+2x）-1]⁵展开式的通项公式为：
T_r+1=${C}_{5}^{r}$•（x²+2x）^5-r•（-1）^r，
对于（x²+2x）^5-r，它的通项公式为：
T_r′+1=2^r′•${C}_{5-r}^{r′}$•x^10-2r-r′，
其中0≤r′≤5-r，0≤r≤5，r、r′都是自然数；
令10-2r-r′=3，可得$\left\{\begin{array}{l}{r=2}\\{r′=3}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{r=3}\\{r′=1}\end{array}\right.$，
所以x³项的系数为：
${C}_{5}^{2}$•2³•${C}_{3}^{3}$-${C}_{5}^{3}$•2•${C}_{2}^{1}$=40．
故答案为：40．

点评 本题主要考查了二项式定理以及二项式展开式的通项公式应用问题，是中档题．