Question

4．如图，在四棱锥P-ABCD中，∠BAD=120°，AB=AD=2，△BCD是等边三角形，E是BP中点，AC与BD交于点O，且OP⊥平面ABCD．
（1）求证：PD∥平面ACE；
（2）当OP=1时，求直线PA与平面ACE所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出△ABC≌△ACD，O是BD中点，连结OE，则OE∥PD，由此能证明PD∥面ACE．
（2）由BD⊥AC，PO⊥面ABCD，以O为原点，OB，OC，OP为坐标轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线PA与平面ACE所成角的正弦值．

解答 证明：（1）∵在四棱锥P-ABCD中，∠BAD=120°，AB=AD=2，△BCD是等边三角形，
∴△ABC≌△ACD，
∵E是BP中点，AC与BD交于点O，∴O是BD中点，
连结OE，则OE∥PD，
∵PD?面ACE，OE?面ACE，∴PD∥面ACE．
解：（2）∵BD⊥AC，PO⊥面ABCD，
以O为原点，OB，OC，OP为坐标轴建立空间直角坐标系，
则P（0，0，1），A（0，-1，0），B（$\sqrt{3}$，0，0），C（0，3，0），E（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0，$\frac{1}{2}$），
$\overrightarrow{EA}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-1，-$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{EC}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，3，-$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{PA}$=（0，-1，-1），
设平面ACE的一个法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EA}=\sqrt{3}x+2y+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EC}=\sqrt{3}x-6y+z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，-$\sqrt{3}$），
设直线PA与平面ACE所成角为θ，
则sinθ=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PA}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{PA}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
∴直线PA与平面ACE所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．