Question

13．已知函数f（x）=ax-x²-lnx存在极值，若这些极值的和大于5+ln2，则实数a的取值范围为（　　）

• A． （-∞，4）
• B． （4，+∞）
• C． （-∞，2）
• D． （2，+∞）

Answer 1

分析 求函数f（x）的定义域，求出f′（x），利用导数和极值之间的关系将条件转化：f′（x）=0在（0，+∞）上有根，即即2x²-ax+1=0在（0，+∞）上有根，根据二次方程根的分布问题列出方程组，根据条件列出关于a的不等式，求出a的范围．

解答 解：f（x）=ax-x²-lnx，x∈（0，+∞），
则f′（x）=a-2x-$\frac{1}{x}$=-$\frac{2{x}^{2}-ax+1}{x}$，
∵函数f（x）存在极值，∴f′（x）=0在（0，+∞）上有根，
即2x²-ax+1=0在（0，+∞）上有根，∴△=a²-8≥0，
显然当△=0时，F（x）无极值，不合题意；
∴方程必有两个不等正根，记方程2x²-ax+1=0的两根为x₁，x₂，x₁+x₂=$\frac{a}{2}$，x₁x₂=$\frac{1}{2}$，
f（x₁），f（x₂）是函数F（x）的两个极值，
由题意得，f（x₁）+f（x₂）=a（x₁+x₂）-（x₁²+x₂²）-（lnx₁+lnx₂）
=$\frac{{a}^{2}}{2}$-$\frac{{a}^{2}}{4}$+1-ln$\frac{1}{2}$＞5-ln$\frac{1}{2}$，
化简解得，a²＞16，满足△＞0，
又x₁+x₂=$\frac{a}{2}$＞0，即a＞0，
∴∴a的取值范围是（4，+∞），
故选：B．

点评 本题考查导数与函数的单调性、极值的关系，以及二次方程根的分布问题，考查转化思想，化简、变形能力，综合性大、难度大，属于中档题．