Question

15．设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₉＞0，S₁₀＜0，则$\frac{2}{a_1}，\frac{2^2}{a_2}，\frac{2^3}{a_3}，…，\frac{2^9}{a_9}$中最大的是$\frac{2^5}{a_5}$．

Answer 1

分析 根据题意，若S₉＞0，S₁₀＜0，由等差数列的性质分析可得a₅＞0，a₆＜0，进而可得等差数列{a_n}中有a₁＞a₂＞a₃＞a₄＞a₅＞0＞a₆＞a₇＞a₈＞a₉，则有0＜$\frac{{2}^{1}}{{a}_{1}}$＜$\frac{{2}^{2}}{{a}_{2}}$＜$\frac{{2}^{3}}{{a}_{3}}$＜$\frac{{2}^{4}}{{a}_{4}}$＜$\frac{{2}^{5}}{{a}_{5}}$，当n≥6时，$\frac{{2}^{n}}{{a}_{n}}$＜0，解可得答案．

解答 解：根据题意，等差数列{a_n}中，
若S₉＞0，则有S₉=$\frac{（{a}_{1}+{a}_{9}）×9}{2}$=9a₅＞0，则有a₅＞0，
若S₁₀＜0，则有s₁₀=$\frac{（{a}_{1}+{a}_{10}）}{2}$×10=（a₅+a₆）×5＜0，则有a₅+a₆＜0，
则有a₅＞0，a₆＜0，
则等差数列{a_n}为递减数列，则有a₁＞a₂＞a₃＞a₄＞a₅＞0＞a₆＞a₇＞a₈＞a₉，
则有数列{$\frac{{2}^{n}}{{a}_{n}}$}中，当n≤5时，有0＜$\frac{{2}^{1}}{{a}_{1}}$＜$\frac{{2}^{2}}{{a}_{2}}$＜$\frac{{2}^{3}}{{a}_{3}}$＜$\frac{{2}^{4}}{{a}_{4}}$＜$\frac{{2}^{5}}{{a}_{5}}$，
当n≥6时，$\frac{{2}^{n}}{{a}_{n}}$＜0，
故则$\frac{2}{a_1}，\frac{2^2}{a_2}，\frac{2^3}{a_3}，…，\frac{2^9}{a_9}$中最大的是$\frac{{2}^{5}}{{a}_{5}}$，
故答案为：$\frac{{2}^{5}}{{a}_{5}}$．

点评 本题考查等差数列前n项和的性质，关键是分析得到数列{a_n}为递减数列．