Question

5．在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，顶点A₁在底面ABC内的射影恰为线段AB的中点，AA₁=2，△ABC为边长为2的正三角形，N为△ABC的中心，$\overrightarrow{{C}_{1}M}$=2$\overrightarrow{MB}$．
（1）求证：MN∥平面A₁B₁BA；
（2）求三棱锥B₁-A₁AM的体积．

Answer 1

分析 （1）取AB中点O，连结AO，CO，则A₁O⊥平面ABC，CO⊥AB，且N∈CO，以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OA₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明MN∥平面A₁B₁BA．
（2）求出平面A₁AM的法向量，从而求出B₁到平面A₁AM的距离，由此能求出三棱锥B₁-A₁AM的体积．

解答 证明：（1）取AB中点O，连结AO，CO，
∵斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，顶点A₁在底面ABC内的射影恰为线段AB的中点，AA₁=2，
△ABC为边长为2的正三角形，N为△ABC的中心，$\overrightarrow{{C}_{1}M}$=2$\overrightarrow{MB}$．
∴A₁O⊥平面ABC，CO⊥AB，且N∈CO，
以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OA₁为z轴，建立空间直角坐标系，
则N（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0，0），B（0，1，0），C₁（$\sqrt{3}，1，\sqrt{3}$），
∵$\overrightarrow{{C}_{1}M}$=2$\overrightarrow{MB}$，∴设M（a，b，c），
则（a-$\sqrt{3}$，b-1，c-$\sqrt{3}$）=2（-a，1-b，-c）=（-2a，2-2b，-2c），
∴M（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），∴$\overrightarrow{MN}$=（0，-1，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
平面A₁B₁BA为$\overrightarrow{n}$=（1，0，0），
$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{n}$=0，MN?平面A₁B₁BA，
∴MN∥平面A₁B₁BA．
解：（2）A₁（0，0，$\sqrt{3}$），B₁（0，2，$\sqrt{3}$），A（0，-1，0），B（0，1，0），M（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=（0，1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{AM}$=（$\frac{\sqrt{3}}{3}，2，\frac{\sqrt{3}}{3}$），$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（0，3，$\sqrt{3}$），
设平面A₁AM的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{A{A}_{1}}=y+\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AM}=\frac{\sqrt{3}}{3}x+2y+\frac{\sqrt{3}}{3}z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{m}$=（5，-$\sqrt{3}$，1），
∴B₁到平面A₁AM的距离d=$\frac{|\overrightarrow{A{B}_{1}}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{29}}$，
cos＜$\overrightarrow{A{A}_{1}}，\overrightarrow{AM}$＞=$\frac{\overrightarrow{A{A}_{1}}•\overrightarrow{AM}}{|\overrightarrow{A{A}_{1}}|•|\overrightarrow{AM}|}$=$\frac{3}{2\sqrt{\frac{42}{9}}}$=$\frac{9}{2\sqrt{42}}$，
sin＜$\overrightarrow{A{A}_{1}}，\overrightarrow{AM}$＞=$\sqrt{1-（\frac{9}{2\sqrt{42}}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{29}}{2\sqrt{14}}$，
∴${S}_{△{A}_{1}AM}$=$\frac{1}{2}×|\overrightarrow{A{A}_{1}}|×|\overrightarrow{AM}|×sin＜\overrightarrow{A{A}_{1}}，\overrightarrow{AM}＞$=$\frac{1}{2}×2×\sqrt{\frac{42}{9}}×\frac{\sqrt{29}}{2\sqrt{14}}$=$\frac{\sqrt{87}}{6}$，
∴三棱锥B₁-A₁AM的体积：
$V=\frac{1}{3}×d×{S}_{△{A}_{1}AM}$=$\frac{1}{3}×\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{29}}×\frac{\sqrt{87}}{6}$=$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查几何体的体积的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．